مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادرياضيةتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقية،وتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبالأعدادالمركبةعادةًبالصيغةa+bi،حيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

لماذانستخدمالأعدادالمركبة؟

ظهرتالحاجةإلىالأعدادالمركبةلحلالمعادلاتالتيلايوجدلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية،مثلالمعادلةx²+1=0.باستخدامالوحدةالتخيليةi،يصبححلهذهالمعادلةx=±i.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تطبيقاتالأعدادالمركبة:

1. الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
2. معالجةالإشارات:تساعدفيتحليلالإشاراتوالموجات.
3. الفيزياءالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1.الجمعوالطرح

لجمععددينمركبينz₁=a+biوz₂=c+di:
z₁+z₂=(a+c)+(b+d)i

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2.الضرب

لضربعددينمركبين:
z₁×z₂=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3.القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c²+d²}]

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبz=a+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيث:
-المحورالأفقي(x):يمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسي(y):يمثلالجزءالتخيلي.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالإحداثياتالقطبية:
[z=r(\cosθ+i\sinθ)]
حيث:
-rهوالمقدار(المعيار)ويُحسببـ√(a²+b²).
-θهيالزاوية(الطور)وتُحسببـtan⁻¹(b/a).

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

خاتمة

الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.فهمهايتيححلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط،كماأنهاتوفرتمثيلًاهندسيًايساعدفيتحليلالظواهرالفيزيائيةوالهندسية.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبعادةًعلىالصورةa+bi،حيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تعتبرالأعدادالمركبةامتدادًاللأعدادالحقيقية،وتلعبدورًاأساسيًافيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةوالفيزياءوالهندسةالكهربائية.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:
   عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
   مثال:
   (3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2i+4i)=4+6i

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2. الضرب:
   لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأنi²=-1.
   مثال:
   (2+3i)×(1+2i)=2×1+2×2i+3i×1+3i×2i=2+4i+3i+6i²=2+7i+6(-1)=-4+7i

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3. القسمة:
   لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(يتمتغييرإشارةالجزءالتخيلي).
   مثال:
   (4+5i)÷(1+2i)=[(4+5i)(1-2i)]÷[(1+2i)(1-2i)]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a)
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b)

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

هذاالتمثيليُعرفباسممخططأرغاند،ويسهلفهمالعملياتمثلالجمعوالضربهندسيًا.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد(AC).
2. معالجةالإشارات:تساعدفيتحليلالإشاراتوالموجاتباستخدامتحويلفورييه.
3. الميكانيكاالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.

الخلاصة

الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فهمهايتطلبمعرفةأساسياتالجبروالهندسة،لكنهاتفتحأبوابًالفهمظواهرمعقدةفيالطبيعةوالتكنولوجيا.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

إذاكنتمهتمًابتعلمالمزيد،يمكنكاستكشافمواضيعمثلصيغةأويلرأوالجذورالتكعيبيةللوحدة،والتيتعتمدبشكلكبيرعلىالأعدادالمركبة.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط